Sistem Koordinat

Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu titik. Ada beberapa macam system koordinat: Sistem Koordinat Kartesius Suku-siku, Sistem Koordinat Kutub, Sistem Koordinat Tabung, dan Sistem Koordinat Bola. Pada bagian ini hanya akan dibicarakan Sistem Koordinat Cartesius dan Sistem Koordinat Kutub saja.

1.     Sistem Koordinat Kartesius Siku-siku

Dalam matematika, Sistem Koordinat Kartesius Siku-siku  dua dimensi umumnya didefinisikan dengan dua sumbu yang saling bertegak lurus antar satu dengan yang lain, yang keduanya terletak pada satu bidang (bidang xy). Sumbu horizontal diberi label x, dan sumbu vertikal diberi label y. Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut. Titik pertemuan antara kedua sumbu, titik asal, umumnya diberi label o. Setiap sumbu juga mempunyai besaran panjang unit, dan setiap panjang tersebut diberi tanda dan ini membentuk semacam grid. Untuk mendeskripsikan suatu titik tertentu dalam sistem koordinat dua dimensi, nilai x ditulis (absis), lalu diikuti dengan nilai y (ordinat). Dengan demikian, format yang dipakai selalu (x,y) dan urutannya tidak dibalik-balik.

Menurut konvensi yang berlaku, keempat kuadran diurutkan mulai dari yang kanan atas (kuadran I), melingkar melawan arah jarum jam. Pada kuadran I, kedua koordinat (x dan y) bernilai positif (0- 900). Pada kuadran II, koordinat x bernilai negatif dan koordinat y bernilai positif (90- 1800). Pada kuadran III, kedua koordinat bernilai negatif (180- 2700), dan pada kuadran IV, koordinat x bernilai positif dan y negatif (270- 3600)

2. Sistem Koordinat Polar (Kutub)

Apabila O adalah titik pada bidang datar, OX adalah sinar garis dengan arah ke kanan dari titik O, sedangkan      PO = θo (berlawanan arah jarum jam) serta  jarak titik P dari O adalah r satuan ( r > 0 ), maka letak titik P tersebut dapat ditulis P( r,θ).

X+

Hubungan antara sistem koordinat kartesius siku-siku dan sistem koordinat polar (kutub)

P adalah titik tertentu pada bidang datar, jika koordinat kartesius titik P adalah (x,y) dan koordinat kutubnya adalah (r,θo) maka diperoleh hubungan sebagai berikut:

Padalah proyeksi titik P pada sumbu x sehingga:

(OP)2 = (OP1)2 + (PP1)2

   r2    = x2 + y2

  r    = √( x2 + y2), r > 0

¤    Cos θo = x/r sehingga x = r cos θo

¤    Sin θo = y/r sehingga y = r sin θo

Jadi P (x,y) ↔ P ( r cos θo , r sin θo )

Contoh :

  1. Tulislah koordinat kartesius titik P (8,60o) dan R (20,150o)

Jawab :

P (8,60o↔ P ( r cos θo , r sin θo )

↔ P (8 cos 60, 8 sin 60o )

↔ P ( 8. 1/2 , 8 .1/2√3 )

↔  P ( 4 , 4 √3 )

R (20,150o↔ R ( r cos θo , r sin θo )

↔ R (20 cos 150, 20 sin 150o )

↔ R ( 20 .1/2 -√3  , 20 . 1/2 )

↔ R ( -10√3 , 10 √3 )

2. Tulislah koordinat kutub titik N(-2 , 2) dan M(-4,4√ 3)

Jawab:

N(-2 , 2)  ↔ r  = √( x2 + y2)

↔ r  = √( (-2)2 + 22)

↔ r  = √ 4

↔ r  = 2√ 2

  • Cos θo = x/r ↔  Cos θo = -2/2√ 2 = -1/2 √ 2  → θ = 135o atau θ = 225o
  • Sin  θo = x/r ↔  Sin θo = 2/2√ 2 = 1/2 √ 2   →   θ = 45o atau θ = 135o

Jadi koordinat kutub titik N adalah (2√ 2 , 135o)

N(-4 , 4√ 3)    ↔ r  = √( x2 + y2)

↔ r   = √( 42 + (-4√ 3)2)

↔ r  = √ 64

↔ r  = 8

  • Cos θo = x/r ↔  Cos θo = -4/8 = -1/2  → θ = 120o atau θ = 240o
  • Sin  θo = x/r ↔  Sin θo = 4√ 3/8 = 1/2 √ 3   →   θ = 60o atau θ = 120o

Jadi koordinat kutub titik N adalah (8 , 120o)

Soal – soal

  1. Tentukan koordinat titik kartesius titik-titik berikut.
    1. (4 , 90o)
    2. (8 , 90o)
    3. (9 , 700o)
    4. (6 , 120o)
    5. (30 , 600o)
    6. (24 , 1000o)
    7. (40 , 1125o)
  2. Tulislah koordinat titik kutub T, bila koorinat kartesiusnya adalah
    1. T (6 ,0)
    2. T (4 ,-3)
    3. T (25 ,0)
    4. T (3 ,4)
    5. T (-6 ,-8)
    6. T (-5 ,5)
    7. T (6 ,4√ 3)
About these ads

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s